Mathématiques

Cliquez sur le chapitre qui vous intéresse :

Les probabilités et les dénombrements

Les fonctions

Les primitives

Les intégrales

Suites et récurrences

Les nombres complexes

Géométrie

 

Les probabilités :

Probabilités conditionnelles

Roger Federer et Raphael Nadal jouent au tennis en finale du tournoi de Wimbledon. Si Federer remporte le premier set alors il a 8 chances sur 10 de remporter le match. Si Nadal remporte le premier set alors il a une chance sur 2 de remporter le match. Nadal n'a que 3 chances sur 10 de gagner le premier set, quelle est la probabilité qu'il gagne le match ?

Il y a deux cas, il peut gagner le match en ayant gagné le premier set ou en l'ayant perdu. Il faut additionner les deux probabilités. Pour y voir plus clair, appellons S l'évènement "Nadal remporte le premier set" et M l'évènement "Nadal remporte le match", et faisons un dessin.

arbre probabilites

probabilite conditionnelle est la probabilité de M sachant S, c'est la probabilité que Nadal remporte le match sachant qu'il a remporté le premier set. D'après l'énoncé cette probabilité vaut ½, on la note sur l'arbre. On note sur l'arbre toutes les probabilités que l'on peut calculer.

probabilite probabilite

L'évènement "Nadal perd le premier set puis remporte le match" est l'évènement evenement. Sa probabilité est égale au produit des probabilités se trouvant sur la branche de l'évènement. Il doit déjà perdre le premier set (probabilité de 0,7) puis gagner le match sachant qu'il a perdu le premier set (probabilité de 0,2). On multiplie les probabilités.

probabilite conditionnelle


De même, l'évènement 'Nadal gagne le premier set puis remporte le match' est l'évènement formule probabilite. Sa probabilité est égale à probabilite.
Finalement, la probabilité que Nadal remporte le match est égale à la somme des deux probabilités que l'on vient de calculer, c'est la 
formule des probabilités totales.

formule des probabilites totale


Raphael Nadal a un peu moins de 3 chances sur 10 de remporter le match.


Ceux qui ne sont pas en terminale S ont fini le cours sur les probas, ceux qui sont en S peuvent continuer.

Dénombremement

Une urne contient 5 boules numérotées de 1 à 5, les 3 premières sont vertes, les 2 dernières sont rouges.

urne probablilites

1. On tire une boule. Quelle est la probabilité qu'elle soit verte? C'est facile, c'est pour se mettre en forme :

probablilites


2. On tire successivement 5 boules en les remettant chaque fois dans l'urne. Quelle est la probabilité de tirer 5 rouges? La réponse est 

probablilite


Les probabilités se multiplient.

3. On tire successivement 3 boules sans les remettre dans l'urne. Quelle est la probabilité d'obtenir 2 vertes et une rouge? Il faut examiner tous les cas qui amènent au résultat et additionner leurs probabilités. On peut faire VVR, VRV ou RVV donc la probabilité vaut :

probablilites


4. De combien de façons différentes peut on tirer simultanément 3 boules de l'urne (par exemple tirer les boules 123, 125, 345, mais pas 132 car on l'a déjà compté)?
La réponse est le nombre probablilites denombrements. C'est le nombre de sous ensembles de 3 éléments contenus dans un ensemble de 5 éléments. On le calcule avec la formule :

probablilites denombrements


Le nombre n! se lit "factorielle n".

calcul probabilites
calcul probabilites


calcul probabilites


Il y a 10 façons différentes.

5. On tire 3 boules en même temps. Quelle est la probabilité de tirer 2 vertes et une rouge (évènement E)? Le nombre de cas favorables est égal au nombre de possibilités de tirer 2 vertes pamis 3 vertes multiplié par le nombre de possibilités de tirer un rouge parmis 2 rouges. Le nombre de cas total est 10 (question 4). Le calcul détaillé est le suivant :

calcul probabilites

Formule de Newton

Les nombres formule du binome de newton servent aussi à développer une expression du genre developpement newton. En effet :

calcul developpement

 

Les fonctions

Généralités : 

Une fonction est continue si on peut tracer son graphique sans lever le crayon. Une fonction continue qui est strictement croissante sur un intervalle [a,b] et telle que f(a)<y et f(b)>y ne prend qu'une seule fois toute valeur y. Autrement dit, dans ce cas, l'équation f(x)=y admet une unique solution dans l'intervalle [a,b]

continuite fonction

C'est évident sur le dessin et cette propriété s'appelle le théorème des valeurs intermédiaires. On peut l'adapter dans le cas d'une fonction strictement décroissante. Dans les exercices il est souvent demandé de donner une valeur approchée de la solution de l'équation f(x)=y.

Fonction exponentielle :

Représentation graphique de la fonction exponentielle (notée  ou fonction exponentielle) :

fonction exponentielle


On lit sur le graphique que :

fonction exponentielle


La principale propriété de cette fonction, c'est que la fonction exponentielle est toujours égale à sa dérivée : le coefficient directeur de sa tangente en x = a vaut toujours a. Avec la formule de dérivation d'une composée de fonctions que tu connais (formules derivation composee fonction), si u est une fonction alors :

equation math derivation


La notation notation exponentielle pour la fonction exponentielle n'est pas un hazard, il s'agit bien d'une fonction puissance. Le nombre e vaut environ 2,7. On peut donc appliquer les formules des puissances à la fonction exponentielle. En particulier :

fonction exponentielle


Fonction logarithme népérien :

C'est la fonction réciproque de la fonction exponentielle, c'est à dire que pour tout nombre a, fonction logarithme neperien et pour tout nombre a>0,fonction logarithme neperien. Son ensemble de définition est donc fonction logarithme neperien ensemble definition ( logarithme neperien n'a pas de sens car equation logarithme neperien ne vaut jamais -2).

Le graphique est à retenir :

graphique fonction logarithme neperien


On lit dessus que :

propriete logarithme


La dérivée de la fonction logarithme est la fonction inverse 1/x. D'une manière générale si u est une fonction et si equation math, alors :

propriete ln


La fonction ln est capable de transformer des produits en sommes. Pour tous nombres a et b, on a :

propriete ln


Avec cette propriété importante remarque que propriete ln puissance. Quand on a une puissance à l'intérieur de la fonction ln, on peut la passer devant la fonction ln. 

 

Les primitives :

Définition d'une primitive :

Cette partie du site est utile pour la page suivante : les intégrales. 
Une primitive d'une fonction f, c'est une fonction F telle que F' = f.
Une fonction admet plusieurs primitives mais toutes différent d'une constante C. Voici deux exemples de primitives de fonctions :

primitive de fonction primitive de fonction

Si on dérive la fonction F, on retombe bien sur f.
D'une manière générale :

primitive fonction puissance


Si u est une fonction, une primitive de primitive fonction puissance est primitive fonction puissance, et une primitive de primitive fonction logarithme est primitive fonction ln. Pour les calculs, il faut aussi savoir que la primitive d'une somme de fonctions est égale à la somme des primitives des fonctions, et que si alpha est un nombre réel, une primitive de primitive produit est primitive produit.

Calculs de primitives :

 

exemple primitive exemple primitive


Dans les exemples ci dessus, on applique simplement la formule générale d'une primitive d'une puissance de x. Ci dessous on va utiliser les formules de l'exponentielle et du logarithme, pour cela il faudra faire quelques modifications dans l'écriture de f.

exemple primitive compliquée

Posons calcul primitive, on a alors calcul primitive. Ci dessus on s'est débrouillé pour faire apparaître dans l'écriture de la fonction f une fonction u et sa dérivée. Donc finalement :

resultat calcul primitive


Dernier exemple, 

exemple calcul primitive


On pose methode calcul primitive, alors calcul primitive et donc :primitive fonction

 

Les intégrales

Quelque part sur la terre, il y a un champ qui est coincé entre une route et une rivière. Le propriétaire du champ meurt et on doit le partager en 3 parties égales pour ses héritiers. On doit donc connaître sa surface, son aire. C'est l'objectif de ce chapitre.

aire math


D'abord éliminons toutes les données qui ne nous sont pas utiles et placons ce champ dans un repère.

repere math

Ensuite cherchons une fonction dont la représentation graphique parcourt le bord de la rivière. On cherchant un peu sur la calculatrice, on peut trouver une fonction assez proche. Il existe une technique qui permet de déterminer cette fonction si on connait des points de la courbe, la représentation graphique sera d'autant plus précise que l'on connaitra beaucoup de points, il faudra donc faire un maximum de relevés de position sur le terrain. Cette technique n'est pas au programme de la terminale, tu la verras dans les études supérieures. Pour notre rivière, on va considérer que la fonction fonction convient parfaitement. Pour connaitre l'aire sous la courbe, traçons dessous des rectangles assez larges. On sait calculer l'aire d'un rectangle (longueur fois largeur), donc en les additionnant tous on trouvera un nombre un peu inférieur à l'aire que l'on cherche.

integration math theorie


Prenons maintenant ci dessous des rectangles moins larges. L'aire est déja plus précise. En fait plus on prend des rectangles de petite largeur, et plus on se rapproche de l'aire. C'est assez théorique mais en fait l'aire sous la courbe est égale à la somme des aires d'une infinité de rectangles ayant une largeur infiniment petite. La largeur infiniment petite est notée dx. C'est une variation infinitésimale de x. La hauteur de chaque rectangle est de f(x). Le signe symbole integrale se lit "somme" mais on dit plus souvent "intégrale", et l'aire sous la courbe vaut donc : integration aire, c'est à dire la somme pour x parcourant les valeurs de 0 à 4 des f(x) fois dx. (se prononce "intégrale de 0 à 4 de f(x)dx").

integration math theorie


Tout cela est très théorique, voyons maintenant comment calculer une intégrale. C'est très simple. 

Calcul d'une intégrale :

formule calcul integrale


Donc :

integration math calcul

Le résultat est exprimé avec les unités du graphique. Si une unité du graphique vaut 5m, alors une unité d'aire (ua) du graphique vaut 25m², et donc l'aire réelle du champ vaut environ 267m².

Autre méthode de calcul :

Des fois on n'arrive pas à trouver de primitive pour la fonction f. La formule d'intégration par parties peut alors être utile dans ce cas.
Tu connais bien la formule : formule derivation. Si deux fonctions sont égales alors leurs intégrales sont égales, donc :

integration math equation


Comme la primitive de la dérivée d'une fonction c'est la fonction et que l'intégrale d'une somme de fonctions est égale à la somme des intégrales, alors :

integration math equation


Donc en changeant de coté :

integration math equation


Et en inversant l'égalité :

formule integration par parties


C'est la 
formule d'intégration par parties. Elle peut être utilisée lorsque l'on arrive pas à calculer la primitive d'une fonction à intégrer. Comme exemple d'application, calculons calcul primitive. On ne sait pas calculer la primitive de xcos(x). Mais comme il y a un produit, tentons une intégration par parties. On pose integration par partie etcalcul integration math. Alors integration math calcul et integration math calcul. Donc :

 

integrale math


On voit ici qu'une intégrale peut être négative, alors qu'une aire est toujours positive. En fait si on veut calculer l'aire S de la surface bleue ci dessous

lien aire integrale

Il faut calculer :

lien aire integrale

Suites et récurrences


Vocabulaire :

Nous avons vu dans le cours de première sur les suites ce qu'est une suite croissante, décroissante, monotone, majorée, minorée, bornée. Voyons maintenant ce qu'est une suite convergente et ce que sont des suites adjacentes. 

Une suite 
convergente est une suite qui tend vers un certain nombre, appellé limite de la suite, lorsque n tend vers l'infini. C'est donc une suite u telle qu'il exite un nombre réel l tel que limites de suite. Une suite qui n'est pas convergente est ditedivergente.

Deux suites 
adjacentes sont deux suites, l'une croissante, l'autre décroissante, dont les termes se rapprochent lorsque n tend vers l'infini, c'est à dire telles que limites de suites adjacentes.

Exemples :
- la suite définie pour tout n par suite est croissante, monotone, majorée, minorée, bornée, et convergente. Elle admet pour limite 2.
- la suite définie pour tout n par suite est majorée, minorée, bornée et divergente.

Remarquons qu'une suite croissante est toujours minorée par son premier terme, et une suite décroissante est toujours majorée par son premier terme. Une suite monotone peut être convergente ou divergente.


Propriétés :

Toute suite croissante et majorée est convergente et toute suite décroissante et minorée est convergente (mais attention, leur limite n'est pas forcément égale au majorant ou au minorant).
Si deux suites sont adjacentes, alors elles sont convergentes et elles convergent vers la même limite.
Suite croissante majorée
Suites adjacentes
suite
suite
Suites définies par récurrence :

Une suite définie par récurrence est une suite dont on donne la valeur d'un terme ainsi qu'une relation reliant son terme général d'ordre n au terme suivant d'ordre n+1. Par exemple, la suite suite est définie par récurrence. Soit f la fonction qui donne terme suite en fonction de terme suite. Si on sait que la suite u est convergente et que la fonction f est continue en l , alors, en passant à la limite dans la relation de récurrence, on a l'égalité équation. Cette équation permet généralement de calculer l.

Notons aussi que pour des suites définies de cette manière, on peut déterminer une valeur approximative des termes de la suite et conjecturer sur la convergence de la suite à l'aide d'un dessin. Traçons dans un repère orthonormé la courbe représentative de f, et sur l'axe des abscisses plaçons le permier terme terme de suite. On a image de fonction donc à l'aide de la courbe de f on peut placer sur l'axe des ordonnées le terme terme de suite . Traçons maintenant la droite d'équation y=x. En revenant depuis terme de suite sur cette droite et en descendant vers l'axe des abscisses, on reporte ainsi terme de suite sur l'axe des abscisses. On peut maintenant avec f placer terme de suite sur l'axe des ordonnées puis rapporter sa valeur sur l'axe des abscisses à l'aide de la droite d'équation y=x. On peut ainsi placer plusieurs termes de la suite sur l'axe des abscisses et deviner la limite de la suite.

suite


Raisonnement par récurrence :
Le raisonnement par récurrence est un type de raisonnement qui permet de démontrer qu'une propriété qui dépend d'un entier naturel n est vraie pour tout entier naturel n. Par exemple si on doit démontrer que demonstration recurrence est toujours un multiple de 3, on utilise généralement un raisonnement par récurrence. Un raisonnement par récurrence se décompose en 4 étapes.


1. On pose math recurrence="la propriété que l'on veut démontrer", par exemple ici on posera demonstration recurrence


2. On montre que demonstration recurrence est vraie. C'est généralement assez simple. Ici propriete est vraie car demonstration recurrence et 0 est un multiple de 3.


3. On montre que pour tout nombre n, si cours recurrence est vraie, alors cours recurrenceest encore vraie. C'est l'étape la plus difficile. Pour rédiger la solution on écrit donc pour notre exemple : "Soit n un nombre entier naturel. Supposons que raisonnement recurrence soit vraie.". On doit montrer que raisonnement recurrence est encore vraie, c'est à dire que raisonnement recurrence est un multiple de 3.
recurrence

exemple recurrence est bien sur un multiple de 3.
expression est un multiple de 3 car expression est vraie. La somme de deux multiples de 3 est un multiple de 3, donc exemple raisonnement recurrence est un multiple de 3, donc exemple raisonnement recurrence est un multiple de 3, donc exemple raisonnement recurrence est vraie.


4. On conclut. Vu que conclusion raisonnement recurrence est vraie, et que pour tout n, conclusion raisonnement recurrence, on a conclusion raisonnement recurrence, donc conclusion raisonnement recurrence est vraie, conclusion raisonnement recurrence donc conclusion raisonnement recurrence est vraie, etc... et donc du coup conclusion raisonnement recurrence est vraie pour tout n. Pour rédiger on écrit juste "Par principe de récurrence, propriete recurrence est vraie pour tout n".
 

Les nombres complexes


i est un nombre imaginaire tel que propriete nombre i.
nombre complexe notation algebrique est un nombre complexe, il possède une partie réelle, a, et une partie imaginaire, b. a et b sont des nombres réels. 

Calcul avec des nombres complexes :

calcul nombres complexes

- Pour écrire le nombre complexe ecriture nombre complexe sous la forme forme algebrique(forme algébrique), on multiplie le haut et le bas par le conjugué du dénominateur. Si forme algebrique, le conjugué de z est le nombre complexe conjugue nombre complexe. Ainsi :

calcul conjugue nombre complexe


Nombres complexes dans le plan :

nombres complexe dans le plan


Dans le plan complexe on ne parle plus de coordonnées mais d'affixe. Un point n'est plus repéré avec deux coordonnées mais avec une seule affixe qui est un nombre complexe. Ici L est un point d'affixe affixe nombre complexe, I est un point d'affixe affixe nombre complexe i, et T est un point d'affixe affixe nombre complexe t.
La notion de coordonnées polaires s'adapte très bien dans le plan complexe mais il y a du nouveau vocabulaire.
Si M est un point du plan d'affixe z, le module de z (noté module nombre complexe), c'est la distance OM, et l'argument de z (noté argument nombre complexe), c'est l'angle argument et angle. Sinombres complexes on a toujours : 

nombres complexes
et
nombres complexes


Ces formules permettent de calculer le module et l'argument d'un nombre complexe. Une fois que l'on a calculé le module et l'argument, on peut écrire le nombre complexe sous sa forme trigonométrique :

forme trigonometrique


Ou sous sa forme exponentielle :

forme exponentielle


Propriétés du module et de l'argument :


Le module d'un produit est égal au produit des modules et l'argument d'un produit est égal à la somme des arguments : si z et z' sont deux nombres complexes, on a :

proprietes module et argument


Distances et angles :


Si A est un point d'affixe affixe point et B est un point d'affixe affixe point, alors le vecteur vecteur a pour affixe affixe vecteur. C'est comme pour les coordonnées.
Plaçons maintenant un point M tel que affixe point c.

affixe point dans plan complexe


Comme propriete nombres complexes, le point M a pour affixe affixe point. Donc equation math, donc pour calculer des distances dans le plan complexe, on a la formule

equation math


Ajoutons maintenant sur le dessin deux points C et D d'affixes affixes points complexes etmath nombres complexes.
On a equation math, donc equation math.

plan complexe math


Et de même, calcul nombres complexes math donc calcul nombres complexes math.
Comme calcul nombres complexes math , on a finalement :

calcul nombres complexes math


On peut utiliser la formule avec n'importe quels points, et d'une manière générale, pour calculer un angle dans le plan complexe, on a la formule :

formule lien angle et argument

 


Transformations dans le plan complexe :


Il existe des formules qui permettent de calculer, dans le plan complexe, l'affixe de l'image d'un point par une translation, une homothétie, ou une rotation. Si M est un point d'affixe z, si omega est un point d'affixe omega, si vecteur est un vecteur d'affixe t alors l'image de M par la translation de vecteur vecteur a pour affixe translation complexe, l'image de M par l'homothétie de centre omega et de rapport k a pour affixe homothétie complexe, et l'image de M par la rotation d'angle angle alpha et de centre omega a pour affixe rotation complexe.

 

Géométrie

Les notions sur les vecteurs du plan se généralisent dans l'espace. Deux vecteurs sont colinéaires si ils ont la même direction (il existe un nombre k tel que l'un soit égal à k fois l'autre), et deux vecteurs sont orthogonaux si leur poduit scalaire est nul.

Equation d'une droite (d) de l'espace :

equation droite


Pour déterminer l'équation d'une droite de l'espace de vecteur directeur vecteur directeur et passant par coordonnees point, remarquons que cette doite (d) est l'ensemble des points points coordonnees tels que

equation math et equation math


soient colinéaires. vecteur et vecteur sont colinéaires si il existe un nombre k tel que vecteurs colineaires, donc

equation math donc equation parametrique droite

Le dernier système est appellé l'équation paramétrique de la droite (d).

Equation d'un plan P de l'espace :
Soit plan un vecteur normal à un plan P, point plan un point de ce plan, et A le projeté orthogonal de M sur P. Les vecteurs vecteur math et vecteur mathsont orthogonaux.

equation math


Donc si un point point math appartient au plan P, alors il existe un nombre d tel que equation math. La dernière égalité est donc l'équation d'un plan. Quand on nous donne l'équation d'un plan sous cette forme (équation cartésienne), on peut tout de suite donner les coordonnées d'un vecteur normal au plan. Il suffit de lire les coefficients devant x, y et z. 

 

 

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